变式在数学教学中的应用

　　关键词：变式教学多题归一一质多表一题多变一题多解
　　自顾冷沅教授开展变式教学实验以来，变式教学已获得了人们的普遍关注，变式教学是我国数学教育的传统特征，已成为我国数学教师的日常行为规范。张奠宙变式就是通过变换研究对象的非本质特征，变换观察事物的角度或方法，来突出事物的本质特征，帮助学生认识、理解和把握这些本质特征。变式教学能够在不改变事物本质的情况下，转变问题的呈现方式，巧妙运用各类素材进行变式训练，对概念、例（习）题、解法、结论不断地进行拓展和深化，有利于启迪学生思维，触类旁通，提高教学效率。一、多题归一
　　通过设计不同现实情境下的变式问题，发现共同特征，突出概念的本质属性，从而引入概念或获得结论。
　　案例1：幂函数概念引入
　　（1）购买每千克1元的商品a千克，需要支付P
　　（2）正方形边长为a，它的面积S
　　（3）立方体边长为a，它的体积V
　　（4）面积为S的正方形场地的边长a
　　（5）t時间内车行1km，车的平均速度v
　　把各题的自变量和因变量分别换成x和y，得yx，yx2，yx12，yx3，yx1
　　让学生寻找以上问题中的函数有什么共同特征？
　　都是函数；均是以自变量为底的幂；指数为常数；自变量前的系数为1；幂前的系数也为1。
　　上述问题中涉及的函数，都是形如的函数，进而引出幂函数的概念。二、一质多表
　　通过变式题组多题辨析或多种表征，更加精准把握概念的内涵和外延，从而理解概念的本质。
　　1。案例2：函数概念的辨析
　　讲授函数定义时，设计以下一组对应关系f：AB，让学生辨别能否构成函数：
　　根据函数的定义，分析上述六种对应关系中，一对一、一对一且B有余、多对一、多对一且B有余四种对应可以构成函数，A有余不能满足定义中的任意性，一对多不满足定义中的唯一性，都不能构成函数。对一对多多对一的对比讲解也为后面学习反函数留下伏笔。
　　教材中还有诸多例子，如用函数的解析法、表格法、图像法三种表示来辨析函数概念中的某种对应关系；二次函数的三种表示：当a0，一般式yax2零点式ya（xx1）（xx2）；顶点式ya（xm）2n；直线方程有点斜式、两点式、斜截式、截距式四种表达式。三、一题多变
　　通过对原问题的条件改变、结论改变、一般化、特殊化等作引申或铺垫。对例（习）题的变式训练，要重视探究问题的变化，在变化中更深刻理解概念的本质，在变化中获得更多的方法和结论，在变化中培养更具灵活创新的思维。
　　1。案例3：（弦的中点轨迹问题）抛物线y24x的弦AB的斜率为1，求AB中点的轨迹方程
　　解：设弦的两个端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y）。
　　由题意可得（1），（2）
　　由（2）（1）可得（y2y1）（y2y1）4（x2x1），
　　又y2y12y，k1，
　　则2（在抛物线内部，即x1）。
　　变式1（把抛物线改为椭圆）椭圆x22y21的弦AB的斜率为1，求AB中点的轨迹方程。
　　解：设弦的两个端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y）。
　　由题意可得（1），（2）
　　由（2）（1）可得2（x2x1）（x2x1）2（y2y1）（y2y1）0，
　　又x2x12x，y2y12y，k1，
　　则x4y0（在椭圆内部，即）。
　　变式2（把斜率改为过定点）过定点P（2，3）作直线交抛物线y24x于A、B两点，求AB中点的轨迹方程。
　　解：设弦的两个端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y）。
　　由题意可得（1），（2）
　　由（2）（1）可得（y2y1）（y2y1）4（x2x1），
　　又y2y12y，k，
　　则y23y2x4（在已知抛物线y24x内部，即y〈2或y〉4）。
　　本例还可在椭圆、双曲线、抛物线，斜率、定点、定弦长等之间作组合变式，延伸出各种不同的题。从解题中还可发现这类题都可以使用点差法（把弦的两个端点坐标带入已知曲线方程再作差）求解。
　　2。案例4：作正弦型函数yAsin（x）k的图像
　　难点在于取哪五点来作图。有学生作图时取x0，2，，2，2，为此设计以下题：
　　（1）作函数ysinx的图像
　　（2）作函数ysin2x的图像
　　（3）作函数y2sin2x1
　　（4）作函数y2sin（2x4）1
　　解决题（2）后，学生顿时明白ysin2x与ysinx五点作图时x的取值是不同的，进而更加深刻掌握五点是函数最大值点、最小值点和三个零点组成的。这样就大大降低了y2sin（2x4）1的作图难度。四、一题多解
　　将同一个问题的不同解法作为变式，去联结各种不同的知识点，从而提高学生对知识的整合能力，有利于形成完整系统的知识网络，举一反三，触类旁通。
　　案例5：关于x的二次方程2（m1）x24mx
　　3（m1）0至少有一个正根，求m的值
　　在有实根的前提下，依题意，可以按正根个数来分类：（1）有两个正根，（2）只有一个正根，（3）没有正根。从正向求解，分别求解（1）（2）兩种情形，再取并集即可；从方向求解，只需求解情形（3），取其补集即可。
　　解法一：首先要满足2（m1）0且（4m）242（m1）3（m1）0，得m且m1（1）。
　　（1）有两个正根，则解得m1或m1（2）。
　　由式（1）（2）得解m1或1
　　（2）只有一个正根，则x1x20，解得1
　　由式（1）（3）得解m的取值1
　　综合情形（1）（2），得m且m1。
　　解法二：首先要满足2（m1）0且（4m）242（m1）3（m1）0，得m且m1（1）
　　再解没有正根情形，即解之得无解（2）。
　　由式（1）（2），得m的取值m且m1。五、一法多用
　　用同一具体解题方法解决不同知识点的问题。
　　案例6：曲线系方程可用在下列题解中
　　（1）证明双曲线x225y291和x29y2251不相交；
　　（2）不论m为何值，曲线kmx2my2xy6m40均过定点，求k的值；
　　（3）求圆2x22y24xy70与2x22y230的公共弦所在的直线方程；
　　（4）求经过点（2，3），且与椭圆9x24y236有共同焦点的椭圆方程。
　　两曲线C1：f（x，y）0和C2：g（x，y）0的公共交点一定在方程为f（x，y）g（x，y）0的曲线上，因此可设经过曲线C1和C2交点的曲线系方程为f（x，y）g（x，y）0，但曲线系中不包括C2。这种共交点的曲线系方程具有广泛的应用。可用它来解上述这组题。
　　（1）两式相减，化简得x2y20，则xy0，而点（0，0）不在已知两曲线上，故无交点。
　　（2）原方程可整理为
　　xy4m（kx2y26）0
　　这是直线xy40与曲线kx2y260的曲线系方程，那么也必定经过该直线与曲线的所有交点。由方程组化得（k1）x28x100，40k24
　　当0，即k时，原曲线均过定点。
　　（3）两个原方程相减，即得公共弦方程4xy40。
　　（4）该题运用结论：
　　与椭圆1（半焦距为c）共焦点的椭圆系方程：1（c2）
　　解：因已知椭圆焦点在y轴上，则可设所求椭圆方程为1
　　易求c25，又所求椭圆过点（2，3），代入解得10或2（舍去）
　　则所求椭圆方程为1
　　说明：曲线系方程应用有一定条件要求，应用需谨慎，本文不展开。
　　还有本文例3点差法可以解决椭圆、双曲线、抛物线的弦的中点轨迹问题；一元二次方程根的判别式可以解决一元二次方程求根、一元二次函数与x轴交点、一元二次不等式解集、二次三项式的因式分解以及直线与抛物线的交点等方面的问题；高等数学中微元法可以用来解决分割化小，以直代曲的问题等。
　　在变式教学中要带领学生参与到问题认知、探究、发现过程中，多方位、多层次认识数学问题的本质特征，对问题有更深层次的理解，开拓思维能力。通过变式教学，能优化课堂教学方式，增强学生学习的兴趣，提高课堂效率。
　　参考文献：
　　〔1〕张奠宙。中国数学双基教学〔M〕。上海：上海教育出版社，2006。
　　〔2〕温丽红。数学概念的变式教学方略〔J〕。福建中学数学，2017（5）。