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探寻数字背后意蕴发展整体结构思维


  [摘 要]结构化思维能让人更有效地利用数学思维的方式去思考和解决生活中的实际问题。"用数对确定位置"是一种科学性知识,是一种人为性的规定,教师可引领学生探寻隐藏在规定背后的数学意义和价值,体会数学思想方法的曼妙,发展合情推理的能力,学会透过简洁看结构,从而推动学生结构化思维的发展。
  [关键词]整体性;一一对应;数形结合;合情推理;结构性
  [中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068(2018)26-0020-03
  结构化思维对帮助学生理解和掌握数学知识、完善学习认知结构,将课程目标细化、串联、落实在具体的教学情境中,以及提高学生的分析、认知和表达等能力,形成核心思考能力有着重大影响。 "用数对确定位置"的教学目的是,让学生会用数对表示某个具体位置,探寻这"冰冷"规定背后的意蕴;让学生构建知识间的关联,体会数学思想方法的曼妙,培养合情推理的能力,学会透过简洁看结构。如果数字背后没有联系,知识就是零散的;如果数字背后没有思想,规定就是冰冷的;如果数字背后没有方法,学习只能是一种沉重的负担;如果简洁背后没有结构, 简洁只不过是一种形式。下面就以苏教版教材四年级下册"用数对确定位置"的教学为例,谈谈如何根据数字探寻规则背后的意蕴,培养学生数学结构化思维。
  一、数字背后有联系,打通联系成整体
  数学知识体系是按照知识之间的内部联系组成的逻辑结构系统,教师在教学时应从整体结构入手,寻求内容间的内在联系, 把握这种联系所构成的知识体系, 并把这种体系迁移到学生的认知结构中,使知识系统化、条理化、结构化, 从而促进学生结构化思维的发展。
  例如,教学四年级下册"用数对确定位置"时,教师串通了小学各年级间有关确定位置之间的联系,引领学生回顾一、二年级学习过的"确定位置",依托已有经验,提炼出数字背后的规则,明晰只要弄清前后左右和上下之间的先后顺序,制定统一的规则,就能准确确定位置,激发学生猜想今天学习的"确定位置"又有怎样的规则,提高学生探究规则的兴趣,让学生体会确定位置的学习方法的一致性和简洁性。
  【教学片段1】
  生3:一年级学的只有1排,现在不只1排了,必须要说第几排第几个才能确定位置。
  生4:刚才是在一条线上确定位置,现在是在一个平面上确定位置,要用2个数字。
  师:是的,在一个平面上确定物体的位置,得用两个数字来确定。第"2"和第"3"是按怎样的规则数的?
  生5:"2"表示排,"3"表示个。
  生6:"排"是从前往后,或是从下往上数的;"个"是从左往右数的。
  师:是的,无论在一条线上,还是一个平面上,确定物体位置时都得先确定规则,否则大家表述位置的结果都不相同。这节课我们继续探寻确定位置中数字背后的规定。
  這样的教学,将教学起点前移,让知识间的结构联系不仅植根在教师心中,同时也建构在学生的知识体系中,让学生建构新知有了基架。
  【教学片段2】
  师:通过今天的学习,你觉得确定一个物体的位置需要几个数?这其中的规定是什么?
  生1:我觉得确定一个物体的位置可能需要1个数,也可能需要2个数。当只有1行或只有1列时,就是在一条线上,只需要1个数;如果在一个面上就需要2个数,可以用数对表示,前一个数表示列,后一个数表示行。
  生2:如果只有1行时,也可以看成在一个平面上用数对表示出来,只是这个数对的后一个数总是1。
  师:真了不起,你打通了线和平面之间的关系。如果只有1行或1列时,简单的确定位置的方法只要1个数。看来确定一个位置,有时需要1个数,有时需要2个数,那么有时可能需要……数对的世界很奇妙,欢迎大家去探秘。
  这课前、课中和课后的灵活"打通",让一节课往前走一步,向后拉一步,让学生体会到数学学习的整体性,起到既见树木又见林的功效。
  二、数字背后有思想,领悟思想促发展
  1.数点对应是本质
  无论是一维空间还是二维空间, 数与点之间的一一对应性 (即一个数或数对对应着空间中的一个点,反之,空间中的每个点也只能用唯一的数或数对表示)是用数对确定位置的本质。例如,数对与座位也是一一对应关系,在用数对表示自己的座位时,如果某个人的位置是固定的, 则描述这个人位置的方法应该是一样的。这个"一一对应性"让学生体会到"数学规定"虽然是人为规定, 但有它的必要性和合理性, 大家都必须认可并遵守这个合理的数学规定, 否则一切就混乱了。
  【教学片段3】
  师:刚才大家用数对表示了自己的座位,也让小伙伴们根据数对猜到了自己的朋友。想一想,我们班级中会有两个人的座位是用同样的数对表示的吗?
  生1:不会。如果是同样的数对,那这样一个座位上得坐两个人了。
  生2:每个数对只能对应着一个人,每个人也只能有一个座位,这样才很有秩序,不会乱。
  在教学由一个象限向其余三个方向延展时,教师引导学生通过想象"在二维方向标(也就是直角坐标系)中,每个点都可以用数对表示吗?"归纳数对的"数学规定", 激发学生继续探究知识的欲望。
  【教学片段4】
  师:按这个思路继续思考,这是学校的东北角(图略),还有东南角,如果往下画,还有西南角,能不能用数对表示这些点的位置?往左呢?你想说什么?
  生1:这个好像我们二年级学过的方向标,分为东、南、西、北四个区域,那每个区域中的点的位置应该都可以用数对表示。
  师:看来,对于方格图,我们想画多大就能画多大。请大家闭眼想象一下,这个方格图上任何一点的位置是不是都可以用数对来表示?反过来,任何一个数对是不是都可以在这个方格图上找到一个点和它对应?这很像将来咱们要学习到的直角坐标系。
  学生根据已有的经验,猜想这个平面中的每个点应该都可以用一个数对表示,虽不明白具体用什么数对表示,但一一对应的思想已经初步形成。
  2.数形结合巧渗透
  数学是研究数量关系和空间形式的一门学科,而数形结合是一种重要的数学思想方法 ,其实"数对"就是中学所说的坐标,而"列"和"行"就是直角坐标系的雏形,它们架起了数与形的桥梁,为学生今后学习函数知识进行了有机的铺垫。教学中,教师将人物图抽象为点子图,再将点子图抽象为方格图, 渗透"数形结合"思想,孕伏"坐标"知识,引导学生经历知识的形成过程,发展学生的空间观念。
  【教学片段5】
  師:如果我们把每个同学都看成一个点,闭上眼睛想象一下,这幅图(图略)变成什么样了?
  师(出示图3):睁开眼睛看看,这样的一个平面图和你想的一样吗?你还能在点子图中找到数对(4,2)所表示的点吗?
  师:没想到这简单的数对背后居然还有这么多门道。
  三、数字背后有推理,合情推理提能力
  数学,无论是它自身的产生与发展, 还是对于它的认知与应用, 推理无不伴随始终。因此,培养学生的数学推理能力是当今数学教育的一种核心价值取向。数学课程标准特别指出:应将推理能力的发展贯穿于学生整个数学学习过程中。而在数学学习过程中,猜想和推理是一对孪生兄弟,随时都会同时出现在一个问题中。"用数对确定位置"这节课中,数对确定位置的方法是一种规则,如果采用"告诉"的方式教学,就会使学生的学习处于"接受"状态。如果让学生经历用"符号"来表示第几行和第几列,并讨论不同方法的优劣这一再创造的过程,对于熟悉了"先行后列"数法的学生来说是有一定困难的。因此,教师要引导学生从猜想规律开始,逐步根据提示进行推理,提高学生自主学习和研究的热情,促进学生推理能力的提升。
  【教学片段6】
  生1:从遗传学的角度看,我觉得是第4排第2个,因为很漂亮。
  生2:听说成绩很棒,我觉得是从上往下数的第1行的第5个。
  生3:只要是女孩都有可能,这样的猜测好像"大海捞针",得有点提示。
  师:行。在数学上,她在这幅图中的位置表示为(4,2),把数字4和2用逗号隔开,外面加括号表示一个整体,可以读作数对4、2,也可以直接读成4、2。现在,你能找到她的位置吗?
  生4:还是不能确定究竟是哪一个,但范围比刚才缩小了。
  师:老师只有一个孩子,而且她的位置在数学上的确可以用数对(4,2)来表示,为什么你们找出了四个孩子呢?在小组里交流你的想法。
  小组1:这里的4和2,哪一个是指竖排,哪一个是指横排,没说清楚。竖排时,究竟是从左往右数,还是从右往左数,也没说清。横排时,究竟是从上往下数,还是从下往上数,也没说。
  小组2:这数字背后的规则不清楚。
  师:看来,仅仅知道数对还不够,我们还得了解这个数对背后隐藏的一系列规则。
  师:老师的孩子的好朋友,在图中可用数对(2,1)表示。现在你能确定哪一个才是老师的孩子吗? 同桌两人交流自己思考的过程。
  (学生在交流中明晰列和行的确定以及数对(4,2)背后的规则)
  学生在经历了两次猜想后,逐步缩小答案的范围,教师再根据给定孩子的位置和数对,引导学生通过推理,自主探究,得出数字背后的规则。在这样的过程中,学生的推理能力得到了进一步的培养,而这种"以假设为导向——如果她朋友的位置是(2,1),以事实为依据,以逻辑为纽带",学生根据给定数进行迁移、思考、推理的思考问题的方式,正是结构化思考问题的重要方式。
  四、数字背后有简洁,透过简洁见结构
  教学"用数对确定位置"后,很多教师都引导学生体会用数对表示位置的简洁性,感受数学的简洁美。但这里有比"简洁"更重要的是这种表示方法的统一性和结构性:所有人都这样表示,有了这种表示的统一性, 就不会产生分歧, 便于沟通和交流。如果这里的简洁只是书写上的简单,而从学生思维的角度思考,特别是对初学者来说,这其实并不简洁,反而是更复杂,因为学生已有的思维习惯是先行后列,而数对表示的数的第一个是列而不是行。
  因此,笔者在引导学生总结用数对确定位置优越性时,让学生不仅能体会到简洁性,更懂得这种表示的统一性和结构性价值要远远大于简洁性, 因为这种表示 (小学阶段用在一维、二维、三维空间) 还可以进一步迁移到球面空间……
  综上,探寻隐藏在数字背后规定的数学意蕴和价值,不能局限于表面规定的接受,而要让学生知道数字背后有联系,明白数字背后有思想(重视思想促发展),经历数字背后有推理(合情推理提能力),理解数字背后有简洁(透过简洁见结构),真正让学生触摸数学的本质,从而展现数学知识的魅力,让学生在有意义的学习中发展结构化思维,并让其成为一种思考的自觉。然而,结构化思维的培养不是一蹴而就的,和吹拉弹唱相似,也是需要每天练习的,既然如此,教师就应该根据教学内容,科学地引导学生每天练习,做学生结构化思维的引路人,让他们在每天的练习中习得方法,学会有条理地分析和利用结构化思维解决问题。
 
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