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基于数形结合的乘法分配律错例分析


  [摘 要]在教学"乘法分配律"时,教师往往关注的是乘法分配律的外形结构,缺乏对其内隐的数学本质的挖掘。教师要以直观、具体的形式呈现学生的错例,结合学生已有的活动经验,便于学生理解算理、建立模型,促进学生解决问题能力与运算能力共同提高。
  [关键词]数形结合;乘法分配律;错例
  [中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068(2018)26-0023-03
  教材四年级下册"运算定律"这一单元,总能听到很多教师抱怨:"学生怎么就找不到乘法分配律中的公因数呢?""三个数、四个数连乘,肯定是用乘法交换律或是结合律,这些孩子怎么会用上乘法分配律呢?""学完整个单元后,学生出现的错误简直五花八门,一片混乱。"……
  除了五条基本运算定律外,连减、连除的简便计算以及加减、乘除的灵活应用等相关内容也被编排在"运算定律"这一单元。整个单元知识点系统全面,但对于四年级的学生来说,却具有一定难度,其中的乘法分配律似乎成了学生很难跨越的"坎"。
  从上表可以看出,与其他只包含单一运算的运算定律和性质相比,乘法分配律含有乘法与加法两种运算,思维含量较高。同时,乘法分配律与乘法结合律在形式上最为相似,也给学生造成一定的干扰。如果只重视乘法分配律外在形式的识记与模仿,忽略对其本质意义的理解,学生自然会出现(a×b)×c=(a+b)×c、(a+b)×c= a×c+b之类的错误。
  当学生出现错误时,如果能结合具体的情境,将直观的形与抽象的数一一对应,将有助于学生深刻理解乘法分配律的内在本质,从而有效建构抽象的运算律。
  【错例一】(提取练习)38×36+64×38
  分析:从乘法分配律的字母表达式来看,其应用是双向的。从左往右看,从(a+b)×c到a×c+b×c是分解式思维;从右往左看,a×c+b×c到(a+b)×c是提取式思维。"从左往右"的应用符合学生的认知习惯,"从右往左"则让一些学生如同雾里看花。
  对策:
  师(出示:401班为38名女生统一购买表演服装,其中上衣36元,裙子64元,一共花了多少钱?):你能列出算式吗?
  生1:38×36+38×64,38×36表示38件上衣的总价,64×38表示38条裙子的总价,再把它们加起来,就是一共花的钱数。
  生2:我觉得这样计算比较麻烦。上衣和裙子都要买38件,可以先算"一套衣服的价格",再乘38。列式为(36+64)×38。
  师:这是生活中常见的购物问题,虽然两个算式"长"得不一样,但都能解决这个数学问题。
  生3:38×36+38×64=(36+64)×38,这就是运用了乘法分配律。
  生5:我觉得36和38很接近,他是不是搞不清哪个才是公因数?
  生6:这可以和刚才的买衣服问题联系起来,只不过64和38调换了位置,相当于运用了乘法交换律。
  生7:我建议在观察算式后,把38圈起来,这样就不会错了。
  生8:38×36可以理解为36个38,64×38可以理解为64个38,这样一共是(36+64)=100个38,怎么可能是102个36呢?
  【错例二】 (对比练习)25×44
  分析:简便计算本身就是一个开放的思维过程。25×44,既可以把44拆成40和4的和,运用乘法分配律,也可以把44看作4和11的积,运用乘法结合律。正因为方法的不唯一,有些学生就会张冠李戴、混淆不清。
  对策:
  师(出示图4):这样计算对吗?
  生1:44應该是40和4相加,不是相乘。
  生2:如果将两个数相乘,变成三个数连乘,应该把44看成4和11相乘,见25"想"4,25×4的积再乘11,结果应该是1100。
  生3:这是把乘法分配律和乘法结合律混在一起了。
  师(出示:在广场表演中,有44支队伍,每支队伍25人,一共有多少人?):这道题可以列式为"25×44"吗?
  生4:列式正确。"一共有多少人"就是求44个25是多少,所以用乘法计算。
  师:在三年级学习"两位数乘两位数"时,我们借助点子图来理解算理。今天计算"25×44",我们也在点子图上圈一圈、分一分,感受不同的算法。
  学生出错在所难免,但即使出现错误,也要错得明明白白。教师要在生活中寻找与运算定律相关的素材,从图形出发,以图形为载体,注重数形结合,在数形中加深学生对意义的理解,多维度促进学生对乘法分配律意义的建构,从而帮助学生理解并灵活应用运算定律。
 
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