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高中数学导数大题第讲极值不等式恒成立


  高中数学,高考数学复习,从本节开始,讲解各种导数大题的解题思路,这是第1讲,从最简单的题型开始。
  第1问分析:已知f(x)有极值,求参数的范围,导函数f"(x)是一个二次函数,这是一类特殊的导函数,只有当二次函数与x轴有两个交点时,f(x)才有极值,并且有两个极值,解题过程见下方:
  第2问分析:导函数在极值点处的函数值等于0,则由"f(x)在x=1处取得极值"可以列一个等式"f"(1)=0",解方程即可求出b的值。
  恒成立问题一般情况是转化为最值问题来解决。f(x)<c²恒成立,等价于:f(x)的最大值<c²,则只需要求出f(x)的最大值,然后令其<c²,解不等式,就可以求出c的范围。
  求f(x)最大值按照课本上所讲一般分三步:第一步,求f(x)的单调区间;第二步,确定极值点;第三步,比较所有的极值点和定义域端点处的函数值的大小,最大的就是最大值。
  实际上有简单做法:极值点都是方程f"(x)=0的解,所以可以不求单调区间,直接比较函数f(x)在方程f"(x)=0的解处和定义域端点处的函数值的大小即可,这样做可以省掉很多步骤:
  第3问分析:x₁和x₂是任意的两个值,所以要证明不等式成立,只需证明f(x)的最大值减去f(x)的最小值≤7/2即可,证明如下:
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