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从曲边梯形面积到曲边梯形周长


  摘要:定积分常被用于求解曲边梯形面积,但是常与面积同时称道的周长应该如何求解呢?本文通过定积分求解面积中无限细分的思想,对周长中的曲边运用同样的思维方式,进行无限细分,计算出每一小段的长度,再对曲线长度积分,从而得出曲边梯形的周长公式。
  关键词:定积分;曲边梯形;周长
  一、前言
  定积分可以用来计算平面直角坐标系Oxy中,由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值(一个确定的实数值)。而对于平面直角坐标系中的曲线来说,其围成的曲边梯形的周长和面积都值得研究与思考。本文将研究利用定积分来求解曲边梯形周长的方法。
  二、定积分
  1、定积分的数学定义。如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点xi将区间[a,b]分为n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ζi(i=1,2,3,…,n),作和式f(ζi)+…+(ζn),当n趋于无穷大时,上述和式无限趋近于某个常数A,这个常数叫做y=f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
  其中,a与b叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.
  2、定积分的几何意义。在平面直角坐标系Oxy中,由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积(一种確定的实数值)被称为定积分的几何意义。
  三、定积分求曲边梯形的周长
  首先我们整理一下定积分求曲边梯形面积的方法,然后通过相同的思路对曲边梯形的周长进行计算。
  1、定积分求曲边梯形面积。
  如图,我们需要计算的是曲边梯形的面积S。
  (2)函数f(x)定义域为D,[a,b]∈D,且f(x)在[a,b]上是连续可导函数。
  四、结语
  通过定积分求解曲边梯形面积无限细分的思想,我们同样地可以去思考求解曲边体型的周长,得知在平面直角坐标系Oxy中,由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及轴围成的曲边梯形的周长为:
  参考文献
  [1] 伍胜健.《数学分析》(第二册)[M].北京大学出版社,2010:1-9.
  [2] 袁长江,王雯."曲边梯形的面积"的教学[J].中学数学月刊,2008,(10):19-22.
 
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