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微积分三板斧


  林群(中国科学院院士、计算数学专家)
  微积分之所以重要,一是奇特,一是有用。它解决生活中难题,如高铁瞬时速度、建筑的面积,这些本属"无穷"的计算,不可能实现,但微积分却创造出奇迹,将这些"无穷"的计算变成举手之劳。
  而传统教材却将此惊天成果,表达为数百的定理公式、无尽的证明与推理,令人望而生畏。我们抓纲放细,将之归结为三把斧或三步曲:
  一、关键的第一步:瞬时速度怎么算——假传万卷书,真传一案例,一本万利
  以高铁为例,若车速都是相同的,则速度=
  ,若车速在变化,要测瞬时(即每一时刻)速度,就出现
  ,怎么算?
  只能变通为,由一小段路程平均速度,来算,因为在短时间之内,瞬时速度与平均速度相差不大(没有时间去加速太多∴速度变化不会大)。
  为此,大胆设想两者之间的
  差别=|平均速度-瞬时速度|,与时间长短成比例
  或
  差别≤时间的一个倍数
  ——(1)
  (此情况在多例中发生,故靠得住——见后面例题。)
  这时事情显得比较清楚:当时间很短,差别就很小。
  二、功夫在第二步:曲边图形的面积怎么算
  让(1)×时间:
  |路程-瞬时速度×时间|≤(时间)2的一个倍数
  ——(2)
  则相应会有
  |路程-速度图的面积|≤(时间)2的一个倍数
  ——(3)
  (或速度图的面积≈某一时刻速度×时间)
  最后,反证法又导致基本定理
  路程=速度图的面积
  ——(4)
  由此能推出(不超四行)
  三、奇特的第三步:泰勒公式,将非线性世界尽量"线性化"
  以上三步,又称微积分三板斧,可译成以下三公式(5)(6)(7)。
  我们提倡数学文风:先文字后符号,先解释后公式,先讲理后定理。
  首先,文字译成符号:
  路程译成f(x),时间增量h>0,瞬时速度译成g(x)。(2)译成
  ——(5)
  由此会有(3)或
  ——(6)
  又导致(4)或
  ——(7)
  它表明:面积既然都写出来了,那就是存在;此外,它必等于f(x+h)-f(x),那就是唯一。
  结果,油饼面积(二维)变油条高(一维),奇特、有用!
  作者:林群、张景中;中国科学院数学与系统科学研究院供稿
 
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