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巧解应用题掌握五大解题步骤轻松解决一块


  英国大科学家牛顿曾经出过一道饶有趣味的题目,这就是著名的牛吃草问题:
  有一片牧场,已知饲牛 10 头,20 天把草吃完;若饲牛 15 头,则 10 天把草吃完;
  饲牛 25 头,问几天把草吃完?
  解答此题的难点在于每天有新的草产生,草的数量总是在不断变化,也就是
  说这类问题的工作总量是不固定的,一直在匀速变化。
  因此,解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量。牧场上原有的草
  总量是不变的,新长出的草虽然在变化,但因为我们假设它是匀速生长,所以每
  天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草量及每天新长出的草量,
  问题就会迎刃而解。
  一、基本知识点
  1、含义
  牛吃草问题又称消长问题或牛顿牧场,就是牛在牧场上吃草而草又不断生长
  的问题,它涉及到三种数量:原有的草、新长出的草、牛吃掉的草,人们把涉及
  到这三种量的应用题,叫作牛吃草问题,也就牛顿问题。
  2、特点
  (1)随着时间的增长,每天有新的草产生,草的数量总是在不断变化;
  (2)草的增长速度不变,即每天新长出的草量不变;
  (3)草场原有草的量不变 ;
  (4)每头牛每天的食草量不变。
  3、口诀
  每牛每天的吃草量假设是份数 1,A 头 B 天的吃草量是几,M 头 N 天的吃草
  量又是几,大的减去小的,除以二者对应的天数差,结果就是每天长草量。
  原有草量就是 A 头 B 天的吃草量减去 B 天乘每天长草量。
  将未知吃草量的牛分为两个部分:部分牛先吃新草,个数就是草的比率;有
  的草量除以剩余的牛数就将需要的天数求知。
  4、数量关系
  (1)每天长草量=(对应牛的头数×吃得较多天数-对应牛的头数×吃得较
  少天数)÷(吃得较多天数-吃得较少天数);
  (2)原有草量=牛头数×吃的天数-每天长草量×吃的天数;
  (3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-每天长草量);
  (4)牛头数=原有草量÷吃的天数+每天长草量
  5、解题思路
  (1)假设 1 头牛 1 天吃草量为"1";
  (2)求出每天长草量;
  (3)求出牧场原有草量;
  (4) 求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量-每天长草量=消耗原有草量);
  (5)求出可吃天数。
  6、变式
  (1)在漏水的船里舀水;
  (2)蜗牛在井里边爬边滑;
  (3)往漏水的水池里放水;
  (4)检票口检票;
  二、一张思维导图归纳总结
  三、经典应用
  例 1 牧场上有一片青草,每天匀速生长,这片青草可供 10 头牛吃 20 天,
  可供 15 头牛 10 天,问可以供 25 头牛吃几天?
  【分析】第一步、假设每头牛每天的吃草量为 1 份。这样可以求出 10 头牛
  20 天一共吃掉的青草总量是 10×20=200(份)。在这 200 个单位中既包括了牧场
  原有的青草量,也包括了在这 20 天中新生长出的青草量。同样地,我们也可以
  求出 15 头牛 10 天吃掉的青草总量是 15×10=150(份)。在这 150 个单位的青草
  中,既包括了牧场原有的青草量,也包括了在这 10 天中新生长出的青草量。因
  为牧场上原有的青草是一定的,并且青草每天生长的速度相同。
  第二步、求出每天长草量。我们根据上面求出的 20 天的青草总量和 10 天的
  青草总量,就可以求出每天青草的生长量,即(200-150)÷(15-10)=5(份)。
  第三步、求出牧场原有草量。知道了每天新生的青草量以后,就不难求出牧
  场原有的青草量是 200-5×20=100(或 150-5×10=100)(份)。
  第四步、求出每天实际消耗原有草量。25 头牛每天要吃掉 25 份的青草,由
  于每天长出新草 5 份,所以实际每天原有的草量只减少了 25-5-20(份)。
  第五步、求出可吃天数。我们只要算出原有的草量每天吃掉 20 份,几天可
  以吃完,这就是 25 头牛吃完牧场全部青草所需要的时间
  【解答】假设每头牛每天吃的青草量为 1 份,
  每天长草量:(10×20-15×10)÷(20-10)=5(份)
  原有草量: 10×20-5×20=100(份)
  25 头牛每天吃掉原有青草的数量:25-5=20(份)
  吃完全部青草所需的时间:100÷20=5(天)
  答:可以供 25 头牛吃 5 天。
  例 2因天气渐冷,牧场上的草不仅不生长,反而每天以均匀的速度在减少
  已知牧场上的草供 33 头牛吃 5 天,或可供 24 头牛吃 6 天。照此计算,这个牧
  场可供多少头牛吃 10 天?
  【分析】与例 1 不同的是,不但没有新长出的草,而且原有的草还在每天匀
  速减少,但是,我们同样可用类似的方法求出每天减少的量和原来的草的总量。
  【解答】第一步、假设每头牛每天的吃草量为 1 份。
  第二步、求出每天减草量。
  每天减少的草量:(33×5-24×6)÷(6-5)=21(份)
  第三步、求出牧场原有草量。
  牧场上原有的草量:(33+21)×5=270(份)
  或(24+21)×6=270(份)
  第四步、求出牛 10 天吃草量。
  10 天吃草量:270-21×10=60(份)
  第五步、求出牛头数。
  牛头数:60÷10=6(头)
  答:这个牧场可供 6 头牛吃 10 天。
  例 3有一片青草,每天生长的速度相同已知这片青草可供 15 头牛吃 20 天,
  或者供 76 只羊吃 12 天,如果一头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草,那么 8 头牛
  与 64 只羊一起吃,可以吃多少天?
  【分析】本题中既有牛又有羊,为了便于通过比较所吃的总草量来求出每天
  生长的新草量和原有的总草量,我们可以先根据已知条件"一头牛的吃草量等于
  4 只羊的吃草量",将已知条件"15 头牛吃 20 天"转化成"60 只羊吃 20 天",
  统一以羊的吃草量为标准,同时把条件"8 头牛与 64 只羊一起吃"相应地转换
  成"96 只羊一起吃",这样就可以按照例 1 的解题思路来解答。
  我们也可以统一以牛的吃草量为标准,那么"76 只羊吃 12 天"就转换成
  "19 头牛吃 12 天",条件"8 头牛与 64 只羊一起吃"也相应地转换成"24 头
  牛一起吃"然后再按照例 1 的解题思路来解答。
  解法 1第一步、假设每只羊每天的吃草量为 1 份。
  第二步、求出每天长草量。
  每天长草量:(15×4×20-76×12)÷(20-12)
  =(1200-912)÷8
  =36(份)
  第三步、求出牧场原有草量。
  原有草量:76×12-36×12=480(份)或者
  60×20-36×20=480(份)
  第四步、求出每天实际消耗原有草量。
  8 头牛(32 只羊)与 64 只羊每天吃掉原有青草的数量:
  (4×8+64)-36=60(份)
  第五步、求出可吃天数。
  8 头牛(32 只羊)与 64 只羊吃的天数:480÷60=8(天)
  解法 2第一步、假设每头牛每天的吃草量为 1 份。
  第二步、求出每天长草量。
  每天长草量:(15×20-76÷4×12)÷(20-12)=9(份)
  第三步、求出牧场原有草量。
  原有草量:15×20-9×20=120(份)或者
  76÷4×12-9×12=120(份)
  第四步、求出每天实际消耗原有草量。
  8 头牛与 64 只羊(16 头牛)每天吃掉原有的青草数量:
  8+64÷4-9=15(份)
  第五步、求出可吃天数。
  8 头牛与 64 只羊(16 头牛)吃的天数:120÷15=8(天)
  答:8 头牛与 64 只羊一起吃,可以吃 8 天。
  例 4 一牧场长满牧草,每天牧草匀速生长,这个牧场可供 17 头牛吃 30 天,
  可供 19 头牛吃 24 天,现在有若干头牛在吃草,6 天后,4 头牛死亡,余下的牛
  吃了 2 天将草吃完,问原来有牛多少头?
  【分析】"牛吃草"问题的特点是随时间的增长,所研究的量也等量地增加
  解答时,要抓住这个关键问题、也就是要求出的要和每天增加的量各是多少。
  【解答】第一步、假设每头牛每天的吃草量为 1 份。
  第二步、求出每天长草量。
  每天新生的的草量:(17×30-19×24)÷(30-24)=9(份)
  第三步、求出牧场原有草量。
  原有的草量:17×30-9×30=240(份)
  第四步、假设 4 头牛没有死亡总吃草量。
  原有牛总吃草量:240+9×(6+2)+4×2=320(份)
  第五步、求出牛头数。
  原有牛头数:320÷(6+2)=40(头)
  答:这群牛原有 40 头。
  【反思】解决本题时,应用了"牛吃草"问题的基本解答方法。但在数量发
  生变化时,可采用假设法使问题由难变易。
  四、巩固练习
  1、有一牧场,已知养牛 54 头,6 天把草吃尽;养牛 46 头,9 天把草吃尽.如
  果养牛 42 头,那么几天能把牧场上的草吃尽呢?
  2、有一块草地,草匀速生长,这块草地可供 16 头牛吃 20 天;或者可供 80
  只羊吃 12 天;如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量,那么 10 头牛与 20 只
  羊一起可以吃多少天?
  3、一块草地,10 头牛 20 天可以把草吃完,15 头牛 10 天可以把草吃完。
  问多少头牛 5 天可以把草吃完?
 
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